聚合物材料可靠性分析原理（23）

石拓•著

2.4.2.2可靠性分析

现在，我们要以（2-16）和式（2-17）为基础，把材料抽样测试得到的数值为依据，对聚合物材料的整体性能，进行可靠性分析[3]。

因为我们已经得到了聚合物材料，由抽样测试，获得的性能数据值，来评判整体材料性能的可靠度函数（2-16），以及失效分布函数（2-17）。

所以，不难得到失效分布函数（2-17）中，材料性能的期望性能值（数学期望）E(x)，以及期望性能值的均方差D(x)^(1/2)，它们分别是下面的（2-19）和（2-20）：

（2-19）          E(x)=1/λ=λ^(-1)   ，λ>0

（2-20）          D(x)^(1/2)= (1/(λ^2)^(1/2))=λ^(-1)，λ>0

但是，到现在为止，我们虽然已经得到了整体材料的，可靠度函数（2-16）和失效分布函数（2-17），以及它们的期望值（2-19）和均方差（2-20）。然而，其中的参数λ是未知的。事实上，参数λ与不同的聚合物材料、不同的材料性能有关。因此，对于每一种不同的聚合物材料，不同的性能指标，它们的参数λ各不相同。

2.4.2.2.1求参数λ

失效分布函数（2-17）的期望均值（2-19）是一个概率统计值，因此其中的参数λ只能是概率统计值。在这里，我们是通过估计的方法获得参数λ，因此得到参数λ的值，叫做概率统计估计值，简称估计（算）值，用符号λ估算表示。

因为对于任意一个被测量的聚合物材料，抽样所得到的样本n，n∈Ω，由于每个样本的性能测量值xi，i=1，2，…，n，是各自相互独立的，因此满足概率统计中，英国统计学家费希尔（Ronald Fisher，1890-1962年）的，极大似然估计（MLE）条件，所以采用极大似然估计（MLE）法[1][3]，来估计参数λ的估计值λ估算。下面把极大似然估计（MLE）法，简写成MLE。

参数λ的MLE估计（算）λ估算的过程是这样的：

设n是聚合物材料的试样数，n∈Ω；xi是与之对应的性能测量（试）值，xi∈[0，∞），i=1，2，… n。由（2-18），得似然函数（ⅰ）：

L(λ)=Πnλexp(-λxi)=λ^nexp(-λΣnxi)    （ⅰ）

由（ⅰ）得到，对数似然函数（ⅱ）：

lnL(λ)=nlnλ-λΣnxi                      （ⅱ）

由（ⅱ）得到，对数似然方程（ⅲ）：

dlnL(λ)/dλ= n/λ - Σnxi                 （ⅲ）

解上式（ⅲ）求得，参数λ的MLE估计值λ估算，为（2-21）：

（2-21）       λ估算= n/Σnxi=1/x平均，x平均=Σnλxi/n

其中的x平均是n个被测样品，性能测量（试）值的算术平均数。（2-21）表明，参数λ的MLE估计值λ估算，与被测样品性能x的算术平均值x ̅互为倒数。因此，参数λ估算的量纲是性能量纲的倒数（性能[量纲]^(-1)）。

将（2-21）分别代入（2-19）和（2-20），得到材料性能失效的期望性能值（数学期望）（2-19）：

（2-19）       E(x)=x平均

以及期望性能值的均方差（2-20）：

（2-20）       D(x)^(1/2)=x平均

在（2-21）推导过程中，虽然，MLE估计值λ估算来自于抽样测量到的数据，但是，因为λ估算是抽样数据中出现概率的最（极）大者，所以λ估算是λ的最好或最为接近的估计值，即最好的λ≈λ估算，因此可以将λ估算取代λ。将λ估算≈λ代入（2-16）和（2-17），得到（2-16）和 （2-17）：

（2-16）       R(x)=exp(-λ估算x)   ，x≥xm

（2-17）       F(x)=1-exp(-λ估算x)  ，0≤x﹤xm

因此（2-21）可解释为，可靠度函数（2-16）、失效分布函数（2-17）中的参数λ，与整体聚合物材料性能的算术平均值x平均成反比，比例系数为1。或者，参数λ是材料性能的算术平均数的倒数。

（待续）